ВЕРОЯТНОСТНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ДРОБНЫХ ИНТЕГРАЛОВ КОБЕРА И ЭРДЕЛЙИ-КОБЕРА

Тарасова С.С.,Тарасов В.E. 

Тарасова Светлана Семеновна – кандидат технических наук, доцент,

кафедра  теории вероятностей и компьютерного моделирования,

факультет информационных технологий и прикладной математики,

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет);

Тарасов Василий Евгеньевич – доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник,

Научно-исследовательский институт ядерной физики им. Д.В. Скобельцына

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова,

г. Москва

Аннотация: в статье предлагается вероятностная интерпретация дробного интегрирования Кобера нецелого порядка. Доказывается, что дробный интеграл Кобера является оператором дилатации (растяжения) с бета-распределенным масштабированием с точностью до постоянного множителя. Дробные производные Кобера имеют аналогичную вероятностную интерпретацию. Дробный интеграл и производные Эрделйи-Кобера имеют вероятностную интерпретацию, согласно которой они являются операторами дилатации с непрерывно распределенным масштабированием.

Ключевые слова: теория вероятностей, бета распределение, дробное исчисление, интеграл Кобера, дилатация, масштабирование.

Список литературы

1.      Самко С.Г., Килбас А.А., Марычев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые приложения. Минск: Наука и Техника, 1987. 688 с.
2.      Kiryakova V. Generalized Fractional Calculus and Applications. New York: Longman and J. Wiley, 1994. 360 p. ISBN: 9780582219779
3.      Podlubny I. Fractional Differential Equations. San Diego: Academic Press, 1998. 340 p.
4.      Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam: Elsevier, 2006. 540 p. ISBN: 978-0-444-51832-3
5.      Летников А.В. Об историческом развитии теории дифференцирования с произвольным указателем // Математический Сборник. 1868. Том .3. № 2. С.85-112. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://mi.mathnet.ru/msb8048/ (дата обращения: 2019.01.14).
6.      Ross B. The development of fractional calculus 1695-1900 // Historia Mathematica. 1977. Vol. 4. No. 1. P. 75–89. DOI: 10.1016/0315-0860(77)90039-8.
7.      Tenreiro Machado J., Kiryakova V., Mainardi F. Recent history of fractional calculus // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2011. Vol. 16. № 3. P. 1140–1153. DOI: 10.1016/j.cnsns.2010.05.027.
8.      Tenreiro Machado J.A., Kiryakova V. The chronicles of fractional calculus // Fractional Calculus and Applied Analysis, 2017. Vol. 20. № 2. P. 307–336. DOI: 10.1515/fca-2017-0017.
9.      Handbook of Fractional Calculus with Applications. Edited by J.A. Tenreiro Machado. Volumes 1-8. Berlin: De Gruyter, 2019.
10. Нигматуллин Р.Р. Дробный интеграл и его физическая интерпретация // Теоретическая и математическая физика, 1992. Том 90. № 3. С. 242-251.
11. Рутман Р.С. О физических интерпретациях фрактального интегрирования и дифференцирования // Теоретическая и математическая физика. 1995. Том 105. № 3. С. 393-404.
12. Heymans N., Podlubny I. Physical interpretation of initial conditions for fractional differential equations with Riemann-Liouville fractional derivatives // Rheologica Acta, 2006. Vol. 45. № 5. P. 765-772.
13. Podlubny I. Geometrical and physical interpretation of fractional integration and fractional differentiation // Fractional Calculus and Applied Analysis, 2002. Vol. 5. № 4. P. 367-386. (arXiv:math/0110241).
14. Moshrefi-Torbati M., Hammond J.K. Physical and geometrical interpretation of fractional operators // Journal of the Franklin Institute, 1998. Vol. 335. № 6. P. 1077-1086. DOI: 10.1016/S0016-0032(97)00048-3.
15. Ben Adda F. Geometric interpretation of the differentiability and gradient of real order // Comptes Rendus de l'Academie des Sciences - Series I - Mathematics. 1997. Vol.326. No.8. P.931-934.
16. Podlubny I., Despotovic V., Skovranek T., McNaughton B.H. Shadows on the walls: Geometric interpretation of fractional integration // The Journal of Online Mathematics and Its Applications, 2007. Vol. 7. Article ID 1664.
17. Tarasov V.E. Geometric interpretation of fractional-order derivative // Fractional Calculus and Applied Analysis, 2016. Vol. 19. № 5. P. 1200-1221. DOI: 10.1515/fca-2016-0062.
18. Tarasova V.V., Tarasov V.E. Economic interpretation of fractional derivatives // Progress in Fractional Differentiation and Applications, 2017. Vol.3. No.1. P.1-7. DOI: 10.18576/pfda/030101 (arXiv:1712.09575)
19. Rehman H.U., Darus M., Salah J. A note on Caputo’s derivative operator interpretation in economy // Journal of Applied Mathematics, 2018. Vol. 2018, Article ID 1260240, 7 pages DOI: 10.1155/2018/1260240
20. Тарасова В.В., Тарасов В.Е. Микроэкономический смысл производных нецелого порядка // Наука и образование сегодня, 2017. № 8 (19). С. 32-39. [Электронный ресурс]. Режим доступа:: http://publikacija.ru/images/PDF/2017/19/Science-and-education-today-8-19.pdf / (дата обращения: 2019.01.14).
21. Tarasov V.E. Interpretation of fractional derivatives as reconstruction from sequence of integer derivatives // Fundamenta Informaticae, 2017. Vol. 151. № 1-4. P. 431-442. DOI: 10.3233/FI-2017-1502.
22. Tenreiro Machado J.A. A probabilistic interpretation of the fractional-order differentiation // Fractional Calculus and Applied Analysis, 2009. Vol. 6. № 1. P. 73-80.
23. Tenreiro Machado J.A. Fractional derivatives: Probability interpretation and frequency response of rational approximations // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2009. Vol. 14. № 9-10. P. 3492-3497. DOI: 10.1016/j.cnsns.2009.02.004.
24. Станиславский А.А. Вероятностная интерпретация интеграла дробного порядка // Теоретическая и математическая физика, 2004. Том 138. № 3. С. 491-507. DOI: 10.4213/tmf34.
25. Тарасова С.С., Тарасов В.Е. Теория вероятностей и интегралы распределенного порядка // Наука, техника и образование, 2018. № 2 (43). С. 5-8. (ISSN 2312-8267) DOI: 10.20861/2312-8267-2018-43-002.
26. Kober H. On fractional integrals and derivatives // The Quarterly Journal of Mathematics. Oxford Series. 1940. Vol.11. No.1. P.193-211. DOI: 10.1093/qmath/os-11.1.193.
27. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Том 1. Элементарные функции. Москва: Наука, 1981. 800 с.
28. Forbes C., Evans M., Hastings N., Peacock B. Statistical Distributions. Fourth Edition. Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons, 2011. 212 p. ISBN: 978-0-470-39063-4.
29. Королюк В.С., Портенко Н.И. Скороход А.В. Турбин А. Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. 2-ое издание. Москва: Наука, 1985. 640 с.
30. Кибзун А.И., Горяинова Е.Р., Наумов А.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Москва: Физматлит, 2013. 232 с. ISBN: 978-5-9221-0836-2.
31. Тарасова С.С. Теория вероятностей в задачах авиационно-космической техники. Москва: Макс Пресс, 2018. 104 с. ISBN: 978-5-317-05780-0.
32. Rosin P., Rammler E. The laws governing the fineness of powdered coal // Journal of the Institute of Fuel, 1933. Vol.7 . P. 29–36.
33. Tarasov V.E., Tarasova S.S. Fractional and integer derivatives with continuously distributed lag // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2019. Vol. 70. P. 125-169. DOI: 10.1016/j.cnsns.2018.10.014.

Ссылка для цитирования данной статьи 

		Тип лицензии на данную статью – CC BY 4.0. Это значит, что Вы можете свободно цитировать данную статью на любом носителе и в любом формате при указании авторства.
Тарасова С.С.,Тарасов В.E. ВЕРОЯТНОСТНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ДРОБНЫХ ИНТЕГРАЛОВ КОБЕРА И ЭРДЕЛЙИ-КОБЕРА// Проблемы науки №1(37), 2019 - С. {см. журнал}.