К вопросу о счетности и степени множеств

Это возможно, потому что во всех трех случаях используются такие свойства множеств, которыми обладают и действительные, и рациональные, и иррациональные числа. Эти свойства суть:

1.     Плотность множества, дающая возможность бесконечного деления отрезка на все более мелкие части.

2.     Топология на множестве, дающая возможность говорить об окрестностях и перейти к пределу.

3.     Упорядоченность множеств, благодаря которой и возможна топология.

Что же правильно – «диагональный» метод, приводящий к счетности множества рациональных чисел, или только что приведенная теорема, приводящая к несчетности этого множества?

Если структуру множеств во внимание не принимать, то:

 «докажем» счетность рациональных чисел на отрезке (0, 1):

1.Делим отрезок на две части и нумеруем полученные числа.

2. Делим отрезок на три части и продолжаем нумерацию.

3. Делим отрезок на четыре части и снова продолжаем нумерацию и т.д.

Продолжая процесс до бесконечности, пронумеровываем все множество рациональных чисел на заданном отрезке. Именно эта операция и применена Кантором в таблице последовательно для отрезков [0, 1], [0, 2], [0, 3] …

«Докажем» счетность иррациональных чисел на отрезке [0, 1]:

1. Делим отрезок на несколько не обязательно равных частей с помощью каких-нибудь иррациональных чисел и нумеруем полученные числа.

2. Делим каждую часть на несколько (не обязательно равных) частей и продолжаем нумерацию и т.д.

Продолжая процесс до бесконечности, пересчитываем все иррациональные числа.

Возможно, истоки «диагонали» Кантора следует искать не в логике, а в психологии. Действительно, если пытаться пронумеровать по порядку рациональные числа, то между соседними числами всегда найдутся еще числа. Представив числа эти как отношение числителя к знаменателю, где последние суть счетные множества, не ясно, как занумеровать одним множеством индексов два множества индексов. (Иными словами, как одномерное пространство «расщепить», чтобы получилось двумерное).

Нарисуем таблицу. И пусть всю таблицу нарисовать не представляется возможным; пусть в ней каждое рациональное число встречается бесконечное количество раз; пусть нет правила, как избавиться от лишних чисел; пусть каждая диагональ все длиннее; пусть бесконечность уходит не только вправо, но и вниз, да еще счетное число раз; пусть по числам приходится двигаться взад вперед от нуля до бесконечности: но как наглядно, логично и убедительно смотрится ее левый верхний угол!

Воспроизведение структуры апории Зенона в области чисел, по мнению автора, налицо:

*и у Ахиллеса, и у Кантора задаются объективно не обоснованные маркировки пути, при этом так, чтобы из них следовали нужные выводы;

*и у Ахиллеса, и у Кантора - строгая внутренняя логика: парадоксальность наличествует лишь в результатах;

*у Ахиллеса упущена структура - время, у Кантора – структура множеств.

Наглядность таблицы Кантора и была, вероятно, тем фактором, который затруднил тщательное рассмотрение его «диагонального» метода.

И наконец: «диагональный» метод не безобиден: он затрагивает основание философии – соотношение «бытие – ничто» [2, с.139]. Манипулируя бесконечным числом бесконечных рядов, конструируя по произволу таблицу, по произволу задавая путь по таблице, используя неявным образом понятие актуальной бесконечности, метод этот строит из материала, отпущенного на строительство одномерного пространства, пространство двумерное. Последнее равносильно творению из ничего, что доступно только Богу, все людские попытки в этом направлении, по мнению автора, несостоятельны.