К вопросу о счетности и степени множеств

Поэтому результатом стали парадоксы: счетное множество равномощно плотному множеству, прямая равномощно плоскости и вообще n-мерному пространству, и т.п.

И до сих пор они считаются хрестоматийными фактами.

Рассмотрим понятие степени множества.

В изложении К. Куратовского [1, с.185] теорема Кантора о степени множеств записывается следующим образом:

«Теорема (о диагонали). Если область определения Т функции F содержится в А, а значениями функции F служат подмножества множества А, то множество

Z = {tÎT: tÏF(t)}

не является значением функции F.

Доказательство. Мы должны показать, что F(t)= Z для всех tÎТ.

Из определения множества Z следует, что для tÎТ

[tÎZ] º [tÏF(t)].

Если F(t)=Z, получаем противоречие

(tÎZ) º (tÏZ).

В случае А=Т теорема имеет наглядную геометрическую интерпретацию».

В изложении Ю.Л. Ершова [3, с.83] и А.Н. Колмогорова [4, с.42] принято А=Т, при этом А.Н. Колмогоров [4, с.42] счел необходимым включить в текст доказательства заключительное предложение: «Обратите внимание на аналогию между этим рассуждением и рассуждением в парадоксе Рассела».

Далее принято А = Т.

Теорема имеет крайне высокий уровень абстракции: о множестве А сказано лишь, что оно имеет подмножества; о функции F – что это биекция; множество элементов t выступает как область определения и как область значений функции F, а так же как поле для подмножеств множества А; не придан точный смысл выражению «значениями функции F служат подмножества множества А». Чтобы избежать неопределенности, введем индексы:

ti – область определения функции F,

F(ti) =Ai - подмножество, в которое отображает функция F элемент ti.

Теоремой заданы множество А, подмножества Аi, элементы ti, подмножество Z и функция F = F(ti) = Ai.

Из общих аксиом следует:

AiÌA, ÈAi ºA, tiÎA, Èti ºA, ( tiÏAi ) « ( tiÎAk ).

На функцию F наложено условие [ F(ti) = Ai ] Ù ( tiÏAi ).

Далее вводится множество Z = { ti : ti Ï (F(ti) = Ai)}.

Положив F(ti) = Ai = A, получаем противоречие:

[ F(ti) = Ai ] Ù (tiÏAi) ® [ F(ti) = A ] Ù (tiÏA);

tiÎA, поскольку ti – область определения функции F,

tiÏA, поскольку ti – область значений функции F.

Получается аналог парадокса Рассела: множество А не является собственным подмножеством: А Ë A.

Приняв F(ti) = ti, снова приходим к противоречию:

[ F(ti) = Ai ] Ù (tiÏAi) ® [ F(ti) = ti ] Ù (tiÏti).

Это следствия наложенного на F условия [ F(ti) = Ai ] Ù ( tiÏAi ).

Пусть F(ti) = Ai ¹ A.

Введем три подмножества, каждый со своим элементом:

tiÎAk, tjÎAi, tkÎAj. Обозначив функцию F стрелкой ® ,

произведем отображение по замкнутому контуру:

ti ® I, ti Ï I

tj ® Aj, tj Ï Aj

tk® Ak, tkÏ Ak.

Взяв последовательно композицию трех функций F: F×F×F, получим:

{ [ F×F×F ](ti) = Ak }Ù (tiÎAk).

Таким образом, { [ F(ti) = Ai ] Ù ( tiÏAi )} ® { [ F(ti) = Ai ] Ù ( tiÎAi )}.