Теорема «О амплитудно-частотной характеристике идеальной бинарной случайной последовательности»

         Понятия, терминология, формулы, описывающие новые найденные закономерности бинарных случайных последовательностей описываются в работах [1 – 5]. Для проведения доказательства в этой статье вводятся минимально необходимые понятия.

Предварительно закрепив за каждой из сторон монеты значения нуля и единицы, запишем результаты её подбрасывания последовательно друг за другом, по очерёдности их выпадения, например: «10110011110100010101100…». Результат последнего выпадения монеты дописывается вслед за результатом предыдущего выпадения монеты. Таким образом, получаем бинарную случайную последовательность, которой дадим название «Потоковая последовательность».  

Наименование «потоковая» отражает то, что последовательность наращивает свои элементарные события прямо в реальном времени. Каждое, только что полученное, крайнее, событие включается в процесс алгоритмического анализа. Генерация потока случайных событий «рождающихся на глазах» наблюдателя снимает вопрос о заранее подготовленных данных.  Для использования открытых и описываемых в работах [1-5] формульных зависимостей, требуется, что бы потоковая последовательность была конечной. Только в конечных последовательностях можно предсказывать будущие события по уже реализованным событиям. Зависимость рассчитанных характеристик от полученного потока данных, ассоциируется у автора со счётным потоком, и отличает данную авторскую Потоковую  модель выпадения монеты от других авторских моделей, с их авторскими названиями и личными парадигмами. Хотя можно говорить и о бесконечном варианте потоковой последовательности точно так, как и о любой другой последовательности.

Пример сокращённого обозначения потоковой последовательности -F0,5(N).  В нём используется сборка из трёх элементов: F+0,5+(N).

Буква F (Flow - поток) является символом, обозначающим потоковую последовательность.

Вероятность выпадения элементарного события обозначается числом 0,5 после символа F (в работе [1] рассмотрены последовательности F0,Х(N)  с другими значениями (0,Х) вероятности выпадающего элементарного события). 

В скобочках пишется номер N последнего броска монеты в последовательности.

Составными событиями

 в F0,5(N) (смотри [1,2]), называют неразрывные области одинаковых элементарных событий.  Буква n – обозначает число элементарных событий образующих составное событие, n ставится сверху слева перед символом S. Пример трёх одинаковых составных событий 

, каждое из которых образованно двумя элементарными событиями: «11», «11», «00». Разные

: «11», «1», «000», «0000».

Пример разложения F0,5(11) – потоковой последовательности из одиннадцати элементарных событий: «11100010100», на составные события
 

 приведён в таблице 1.

Таблица 1.

Будем различать обозначение множества 

 составных событий (например: 

), которое пишется без нижнего правого порядкового номера, от конкретного составного события (например: 

) являющимся элементом этого множества. Член множества составных событий 

 кроме числа n – обозначающего количество элементарных событий его образующего имеет ещё и индекс i, в нижнем правом углу. Индекс i, в зависимости от контекста, обозначает порядковый номер составного события: либо во множестве 

, либо в F0,5(N).

Число составных событий множества 

 в F0,5(N) рассчитывается по формуле 1, оно зависит от числа бросков монеты N и количества равных элементарных событий n, образующих составные события данной длины:

Ф.1

Где: N – число бросков монеты;  n – число элементарных событий образующих составные события данной длины.

Идеальная потоковая последовательность отличается от реальной F0,5(N) тем, что число её составных событий 

совпадает с целыми (или округлёнными до целых) величинами, рассчитанными по формуле 1.

Теорема «О амплитудно-частотной характеристике идеальной бинарной случайной последовательности».

В идеальной случайной последовательности F0,5(N), получаемой как результат последовательной записи результатов бросков монеты, можно выделить группы составных событий 

. Составные события каждой группы образованны из n элементарных событий по принципу равенства соседних результатов выпадения монеты, где n =1,2,3, ... . И численность  составных событий 

 прямо пропорциональна числу бросков монеты N и обратно пропорционально двойке в степени n плюс один, формула 1.