Теорема «О амплитудно-частотной характеристике идеальной бинарной случайной последовательности»

Доказательство

Согласно классической концепции вероятностей частота появления событий прямо зависит от величины вероятности наступления этих событий. А значит, и число выпавших событий прямо зависит от величины вероятности наступления этих событий. И число событий, с которыми связана большая вероятность их выпадения будет больше, по сравнению с числом событий, с которыми связана меньшая вероятность их выпадения. 

Следовательно, число объектов в эксперименте имеющих вероятность выпадения 

  будет в два раза больше числа объектов имеющих вероятность выпадения  в эксперименте  

. А число объектов с вероятностью выпадения 

 будет в два раза больше числа объектов имеющих вероятность выпадения  

. И т.д.

Присвоим одной стороне монеты значение «1», а другой значение «0».  Построим таблицу 2 с первыми величинами вероятностного ряда 

, в котором связывается число n=1,2,3,…, выпадающих подряд одинаковых элементарных событий с составными событиями 

:

Таблица 2.

n	1	2	3	4	5	6	…
	0,5	0,25	0,125	0,0625	0,03125	0,015625	…
	«1» «0»	«11» «00»	«111» «000»	«1111» «0000»	«11111» «00000»	«111111» «000000»	…

В полном соответствии с классической теории вероятностей в потоковой последовательности вероятность выпадения одной единицы «1» (или нуля) в два раза выше, чем вероятность выпадения подряд двух единиц «11» (или нулей), и отношение этих вероятностей равно двум: 0,5/0,25 = 2.

Вероятность выпадения двух единиц подряд «11», в два раза выше, чем вероятность выпадения трёх единиц подряд«111», и отношение этих вероятностей равно двум: 0,25/0,125 = 2. И так далее (что бы экспериментально убедиться  в справедливости распределения представленного в таблице можно составить гистограмму составных событий для любой реальной F0,5(N>200)).

Замечаем, что такие вероятностные отношения, когда числа различных выпадающих событий отличаются в два раза, описывается формулой 2:

Ф.2

Где:  n = 1,2,3, …;   

 - вероятность наступления событий из множества 

;  

 - вероятность наступления событий из множества 

.  

Но, из того, что число выпавших событий прямо зависит от величины вероятности наступления этих событий, следует, что число событий в множестве 

 будет в два раза больше числа событий в множестве 

. 

Ф.3

В формуле 3 неизвестны величины 

 и 

,  но согласно классической концепции вероятностей их величины прямо зависят от величин вероятностей наступления этих событий. А их отношения так же равно двум, как и отношения их вероятностей в формуле 2.

Ф.4

Тогда связь численности событий подмножества 

 и численности событий из подмножеств 

 , где n > 1, будет: 

 ;  

 ;  

; …

Приведённые выкладки обобщает формула 5, выражающая число составных событий единичной длины через число составных событий любых других длин n > 1:

;

Ф.5

Выразим численность составных событий подмножества 

 через число составных событий  подмножества

:

Ф.6

         Замечаем, что при 

, 

 равно 

.

Найдём сумму всех составных событий 

, для n > 1. Через составные события 

, согласно формуле 6, выражены все остальные события 

:

Ф.7

         Оказывается, что сумма всех составных событий из всех 

 в F0,5(N), где 

=2,3,4, … , равна 

 - числу составных событий единичной длины.

         Отсюда, полное число составных событий потоковой последовательности (включая составные события единичной длины

), равно удвоенному числу составных событий единичной длины, формула 8:

Ф.8

Найдём число элементарных событий N потоковой последовательности через число элементарных событий 

, которые находятся в каждом составном событии 

. Это можно сделать, потому что в каждом составном событии 

 множества 

 находится  

 элементарных событий. А в каждом множестве составных событий 

 находится  

 элементарных событий.

Тогда N бросков монеты образующих потоковую последовательность представляет собой сумму элементарных событий из всех множеств 

. Учитывая, что все множества

 по формуле 6 могут быть выражены через 

, получаем формулу 9:

Ф.9

Преобразуя формулу 9 относительно 

, находим в потоковой последовательности число составных событий единичной длины:

Ф.10

         Теперь найденные в формуле 10 составные события 

 подставим в формулу 6 и поучим искомую формулу 1, связывающую число составных событий 

 с его длиной 

, и с числом бросков монеты  

.

Теорема доказана.

Следствие 1. «Число составных событий в потоковой последовательности равно половине от числа бросков монеты».

Так как по формуле 8 сумма всех составных событий потоковой последовательности равна удвоенной  сумме составных событий первой моды, то после замены

 на его выражение по формуле 10 получаем число составных событий потоковой. 

Действительно:

Сумма всех составных событий потоковой последовательности:

Следствие 2. «Средняя длина составного события равна двум».

Для нахождения средней длины составного события разделим число элементарных событий потоковой последовательности N на число всех её составных событий - 

: 

         Средняя длина составного события равна двум элементарным событиям.

Следствие 3. «Вероятность выпадения составного события обратно пропорционально двойки, возведённую в степень длины этого события».

По частотной модели вероятностей, вероятность выпадения составного события 

 есть отношение числа выпавших определённых событий 

 к общему числу событий. Поэтому, делим 

 которые находятся по формуле 1, на число составных событий ( 

 - следствие 1) в F0,5(N):

Следствие 4. «Вероятность выпадения полярного составного события обратно пропорционально двойки, возведённую в степень длины события увеличенной на единицу».

О полярных составных событиях написано в [1-2]. Действительно, поскольку составные события 

 в равных долях образуются полярными составными событиями, то вероятность выпадения полярного составного события 

 будет равна половине вероятности составного события:

Перечень областей, в которых найдено применение потоковой теории:

1)    Экономика. Биржевой анализ движения цен.

2)    Статистика. В работе [ 4 ] показан класс статистических исследований, в которых происходит изменение численных пропорций составных событий при выборочном наборе статистических данных.

3)    Теория вероятностей и вероятностные процессы. Расчёт количественных характеристик в почти бесконечных  последовательностях [ 1,2,3,4,5 ]. Обнаружение предсказуемости и возможности выбора пропорционального состава  ещё не выпавших составных событий в зависимости от уже выпавших составных событий потоковой последовательности.

4)    Информатика, криптография. Предложен новый способ записи чисел, основанный на законах распределения составных событий в потоковой последовательности [ 7 ].

5)    Лингвистика. Анализ языков, анализ произведений писателей [ 6 ].

6)    Психология. Анализ психологических особенностей человека.

Один из экспериментально обнаруженных эффектов в бинарной (потоковой) последовательности назван «Эффектом Арнольда – Филатова» в честь академика Арнольд а – теоретически предсказавшего существование бинарной сложности и экспериментатора, обнаружившего существование бинарной сложности в природе [ 7 ].

Литература

1.     Филатов О.В., Филатов И.О., Макеева Л.Л. и др. «Потоковая теория: из сайта в книгу». М.: Век информации, 2014. С.200.

2.     Филатов О.В., Филатов И.О., Статья «О закономерностях структуры бинарной последовательности», «Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов», №5, 2014.

3.     Филатов О.В., Филатов И.О., Статья «О закономерностях структуры бинарной последовательности (продолжение, начало см. в №5 май 2014 г.)», «Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов», №6, 2014.

4.     Филатов О.В., Филатов И.О., Статья «О закономерностях структуры бинарной последовательности (продолжение, начало см. в №5 и №6 2014 г.)», «Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов», №7, 2014.

5.     Филатов О.В., Филатов И.О., Статья «О закономерностях структуры бинарной последовательности (продолжение, начало см. в №№5-7 2014 г.)», «Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов», №8, 2014.

6.     Филатов О.В., Статья «Методика поиска родства языков по чередованию гласных и согласных букв в письменных источниках», «Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов», №9, 2014.

7.     Филатов О.В., Филатов И.О., Статья «Эффект Арнольда – Филатова. Золотое, серебряное сечения. Альтернативная запись бесконечно сложной последовательности. Аргументация по фундаментальности «Потоковой теории»», «Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов», №12, 2014.