Использование энтропийных показателей для моделирования динамики сложных социально-экономических систем

С экономической точки зрения трактуется понятие энтропии по-разному, отсюда и различные определения энтропий на основе экономических временных рядов и их интерпретации. В целом энтропийные показатели можно разбить на два класса, исходя из того, как мы выбираем исходный ряд для последующего расчета энтропии. Если мы используем дискретные значения исходного ряда (или, скажем, его прибыльностей) значение энтропии рассчитывается в так называемом «физическом» пространстве (энтропии Шеннона и Тсаллиса [4], вейвлет-энтропия [5] и пр.). Если же для расчета энтропии следует находить отображение исходного ряда в так называемом «фазовом» пространстве, мы приходим к энтропиям подобия, шаблонов и т.п. [6, 7]. Данная работа посвящена именно этим видам энтропийных показателей.

На сегодня в экономическом применении используется достаточно много методов расчета энтропий фазового пространства: энтропия подобия [6], энтропия шаблонов [7], их мультимасштабные вариации, энтропия перемешиваний [8] и др.

C методом расчета энтропии подобия можно ознакомиться, в частности, в [6, 9]. Энтропия подобия (Approximate Entropy, ApEn) является «статистикой регулярности». При расчете энтропии подобия для временного ряда выбирается два параметра – длина шаблона и критерий подобия. Исследуются подпоследовательности (векторы) элементов временного ряда по выбранному критерию подобия. Если найдутся подобные векторы во временном ряде, ApEn оценит логарифмическую вероятность того, что следующие интервалы для каждого из векторов будут отличаться. Если значения ApEn небольшие, то это говорит о большей вероятности следования подобных им векторов. Для нерегулярного временного ряда нельзя ожидать наличия подобных векторов, поэтому значения ApEn будут достаточно большими.

При расчете ApEn учитывается подобие определенного вектора к самому себе, но это приводит к уравниванию существенно важных характеристик энтропии подобия: не учитывается относительная плотность данных и энтропия очень зависит от длины исследуемого вектора.

Учитывая выше сказанное, была разработана такая характеристика как энтропия шаблонов (Sample Entropy, SampEn). На основе работы [9] сделаем вывод, что SampEn больше соответствует теории случайных чисел для ряда с известной функцией плотности распределения, сохраняет относительную плотность, дает значительно меньшую ошибку к рассчитанному значению при условии использования векторов малой размерности.

Энтропия перестановок (Permutation Entropy, PermuEn) была введена как быстрый и надежный метод анализа сложности временных рядов [10]. При расчете энтропии перестановок задаются два параметра: размерность вложения и время задержки. Использование перестановочной энтропии дает возможность оценить сложность временных рядов посредством сравнения соседних значений [11].