Метод решения линейных граничных задач

Для решения дифференциальных уравнений

[u(x)] = ψ(x),            x  ,                                (1.1)

где - линейный дифференциальный оператор порядка m с однородными граничными условиями, обычно применяются метод конечных разностей и проекционные методы. В [1] показано, что при автоматизации вычислительного процесса проекционные методы имеют значительно большее количество вычислительных операций по сравнению с методом конечных разностей. Основные затраты времени в первых методах связаны с вычислением скалярных произведений в пространстве . Несмотря на это, возможность получить решение в аналитической форме привлекает в прикладных исследованиях к использованию проекционных методов. В связи с этим представляют интерес разработки алгоритмов приближенного аналитического решения дифференциальных уравнений, обладающих достаточной общностью и не имеющего упомянутого недостатка проекционных методов. Один из таких алгоритмов может быть предложен из следующих соображений.

Рассмотрим дифференциальное уравнение типа (1.1) в предположении его единственного решения в ограниченной области . Подстановкой

u(x) = (x) + (x)f(x)                               (2.1)

преобразуем уравнение (1.1) к виду

   (2.2)

в котором  - некоторые аналитические функции и  0 в области p =  целые, (p) =   , . Для получения коэффициентов разложения решения уравнения (2.2) по степенному ряду предлагается способ, который следует рассматривать как разновидность вариационного метода при функционалах  принимающих на разности левой и правой частей уравнения (2.2) нулевые значения:

где i =  целые, .

В качестве функционалов предлагается взять

 ,                    (2.3)

где (i) =   ,    

которые при существовании решения f(х) в виде

                                          (2.4)

(здесь j =  целые, , (j) =   ,  ) и правой части в виде

φ(х) =

дают бесконечную систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов  вида

 = ,                                           (2.5)

где для i и j справедливы используемые выше обозначения.