Метод решения линейных граничных задач

В общем случае доказать, что соблюдается также условие (2.10), не удаётся. Тем не менее, если предположить, что определитель бесконечной системы уравнений (2.5) не равен нулю, то для j–го неизвестного в соотношении (2.8) можно показать, что предел знаменателя конечен при любом  и только при  будет равен  В связи с этим решение системы уравнений (2.5) будет отлично от тривиального, т.е. когда все  0. Действительно, из условия аналитичности коэффициентов в уравнении (2.2) можно мажорантную величину для элемента  и получить оценку

 exp[ (2.12)

где .

Таким образом, если определитель бесконечной системы уравнений (2.5) не равен нулю, то существует предел (2.8). Следовательно, значение каждого-го неизвестного может бытьнайдено по методу редукции [2], который состоит в замене бесконечной системы уравнений (2.5) системой из N уравнений с N неизвестными.

Полученные выше соотношения (2.11) и (2.12) позволяют выполнить оценку погрешности для -го неизвестного, вычисляемого из системы N уравнений с N неизвестными, т. е. для  из (2.8) имеем:

где верхние пределы абсолютных погрешностей числителя

,

где значение  смотри выше.

Рассмотрим вопрос о радиусе сходимости определения коэффициентов ряда (2.4). Выше была показана только ограниченность коэффициентов  ряда (2.4), а не зависимость коэффициентов  от j. Следовательно, с определенностью лишь можно сказать, что радиус сходимости этого ряда Действительно,

если

На этом завершим обобщенное изложение нового метода решения граничных задач [5[, в основу которого положена операция дифференцирования, а не интегрирования.

Литература

1.     Алексидзе М. А. Решение граничных задач методом разложения по неортогональным функциям. М., 1978. 352с.

2.     Канторович Л. В., Акимов Г. П. Функциональный анализ. М., 1984. 752с.

3.     Каган В. Ф. Основания теории определителей. Одесса. 1922. 521с.

4.     Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М., 1966. 800с.

5.     Дорогин А. Д., Александрова Н. В. Приближенный метод решения линейных граничных задач. – Обустройство нефтяных месторождений Западной Сибири. Тюмень, 1991. 262с.