Метод решения линейных граничных задач

Общее выражение для коэффициентов системы уравнений (2.5) может быть получено методом индукции. Для этого исходное дифференциальное уравнение (2.2) переписывается в более простом виде:

                                           (2.6)

где l = 0, 1,  =

L – количество слагаемых в уравнении (2.2). Принимая , L = 2 и дифференцируя левую и правую части (2.6) в соответствии со следованием производных в коэффициентах ряда Тейлора, получаем выражения для коэффициентов . Затем, положив L = 3, приходим к выражениям  в этом случае, и т. д. В результате можно записать общее соотношение для коэффициентов  в пространстве . После этого, рассматриваются последовательно пространства , , в которых также записываются общие выражения для коэффициентов . Наконец, сопоставляя такие выражения в различных пространствах, приходим к общему выражению для коэффициентов  в системе уравнений (2.5):

где ,

(+1) + 0.5

 – дифференцирование p раз по переменной  – биноминальные коэффициенты, индексы  определяются по порядку производной по переменным  в коэффициентах ряда Тейлора с порядковым номером L.

Перейдем к доказательству существования решения бесконечной алгебраической системы уравнений (2.5). Она, при известных преобразованиях, не образует регулярной, вполне регулярной и т. д. [2], нормальной [3] систем уравнений, для которых доказано существование решения. В связи с этим может быть предложен следующий способ решения систем типа (2.5).

Значение  неизвестного, следуя [3], может быть определено как предел отношения определителя  к определителю , N, конечной системы из N уравнений с N неизвестными, получаемой из бесконечной системы уравнений (2.5), в виде:

Раскроем оба определителя,  и , по j-му столбцу в форме:

 ,                     (2.7)

где  - алгебраическое дополнение соответствующих элементов определителей. Разделим числитель и знаменатель (2.7) на максимальное алгебраическое дополнение из дополнений , в результате получим:

 ,                     (2.8)

где числа -1  1. Конечный предел отношения (2.8) существует, если

 ,                                  (2.9)

Ранее было принято, что функция φ(х) аналитическая в точке  следовательно, для ряда (2.9) можно записать:

   =

                   (2.11)

Здесь    1, и таким образом, условие (2.9) соблюдается.