Модель Изинга

Тесевич Анастасия Андреевна / Tesevich Anastasija Andreevna – бакалавр

физико-математических наук по профилю информатика;

Спирин Дмитрий Владимирович / Spirin Dmitrij Vladimirovich – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры ТФИТО,

ФГБОУ ВПО Хакасский Государственный Университет имени Н.Ф. Катанова, г Абакан

Аннотация: модель Изинга широко используется для изучения фазовых переходов и имеет точное математическое рассмотрение, поэтому занимает видное место среди других вопросов статистической механики.

Ключевые слова: модель Изинга, одномерный изинговский магнетик, фазовый переход, энергия магнетика.

Многие системы, обладающие переходами типа «порядок-беспорядок», можно анализировать, используя модель Изинга. Она пригодна для описания фазового перехода в любой системе, характеризуемой набором переменных связанных с узлами кристаллической решетки, причем на каждом узле соответствующая переменная может принимать только два значения. Для ферромагнетика – это два возможных значения спина частиц, находящихся в узлах решетки [1]. Узлы пронумерованы и каждый i-й узел решетки характеризуется переменной s_i= ± 1 («+» если спин направлен «вверх» и «–» если спин направлен «вниз»). По существу в модели Изинга спин – это одномерный единичный вектор, то есть рассматриваются только его проекции на какое-нибудь выделенное направление, обычно на направление поля h [2].

Модель Изинга является простейшей и самой распространенной в статистической физике моделью фазового перехода, с ней связана богатая история.

Она была предложена Ленцем (1920 г.) и исследована его дипломником Изингом с целью изучения фазового перехода из парамагнитного состояния в ферромагнитное. Изинг рассчитал термодинамические свойства модели в одномерном случае и нашел (1925 г.), что в ней отсутствует фазовый переход. Однако в двумерном и трехмерном случаях модель Изинга действительно обнаруживает фазовый переход из парамагнитного в ферромагнитное состояние при температуре Кюри , связанной с проявлением спонтанной намагниченности в решеточной системе из спинов при  в отсутствие внешнего магнитного поля. Первое исследование ферромагнитных свойств двумерной решетки Изинга было выполнено Пайерлсом (1936 г.) и затем развито Карамесом и Ванье (1941 г.). Они точно определили температуру фазового перехода , где J– обменный интеграл. Онсагер (1944 г.) сделал следующий шаг в изучении статистической механики фазовый переходов, решив задачу о двумерной модели Изинга. Было показано, что точное вычисление свободной энергии приводит к существенному отличию поведения термодинамических величин в окрестности фазового перехода от того, которое предсказывается теориями, использующими приближенные методики, например метод среднего поля [3].

Важная роль статистической теории модели Изинга объясняется тем, что она находит применение при рассмотрении самых разнообразных магнитных и немагнитных систем. Сюда входят: ферромагнетики; антиферромагнетики; ферримагнетики; бинарные смеси и сплавы, в которых атомы двух элементов могут замещать друг друга в фиксированных узлах решетки (в этом случае модель используется для изучения процессов упорядочения и разупорядочения атомов в сплавах) [4]; решеточная модель жидкости; решеточный газ (эта система служит для модельного описания критической точки жидкость-газ) [5]; модель перколяции (объекты – узел целый или блокированный) [6]; «плавление» ДНК [7].

Самыми существенными факторами, определяющими широкое использование модели Изинга для объяснения различных явлений, являются наблюдающиеся в модели кооперативные явления и фазовые переходы, а также возможность ее точного математического рассмотрения [8]. Поэтому статистика модели Изинга занимает видное место среди других вопросов статистической механики.

Пусть узлы одномерного изинговского магнетика, выстроены вдоль одной прямой (цепочкой), имеют равные по модулю магнитные моменты, ориентированные вдоль некоторой оси. Граничные условия цепочки зададим как «оборванные концы», что подразумевает изолированный магнитный кластер.

В настоящей работе учитывается ближнее взаимодействие и взаимодействие вторых соседей, энергия магнетика имеет вид

,          (1),

где N – количество узлов в одномерном магнетике; i – номер узла; s_i – проекция безразмерного вектора спинового магнитного момента i-го узла на ось z, вдоль которой направлена напряженность внешнего магнитного поля; h = h_z – проекция напряженности магнитного поля на ось z; j₁ – энергия взаимодействия ближайших соседей, j₂ – энергия взаимодействия вторых соседей.

Энергия магнетика выражается через энергию взаимодействия ближайших соседей

,          (2).

Тогда ,          (3),

где H – безразмерная проекция магнитного поля, энергии взаимодействия выраженная через энергию взаимодействия ближайших соседей. Если энергия взаимодействия ближайших соседей положительна, то перед вторым слагаемым в энергии магнетика ставится знак «–», если отрицательна, то знак «+».

Литература

1.     Парсонидж Н., Стейвли Л. Беспорядок в кристаллах. – М.: Мир, 1982, 436 с.

2.     Спирин Д.В. Особенности критической динамикм изинговских наноразмерных магнетиков. Автореферат диссертации, … канд. физ.-мат. наук. Томск, 2008. 18 с.

3.     Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. – М.: Мир, 1975, С.217.

4.     Панченко Т.В. Сравнительный анализ эффективности генетических алгоритмов и алгоритма Метрополиса применительно к задачам физики твердого тела: Автореф. дисс. … канд. физ.-мат. наук: Астрахань, 2007, 18 с.

5.     Спирин Д.В.Кинетические свойства малого одномерного изинговского магнетика // Д.В. Спирин, В.Н. Удодов, А.И. Потекаев, Н.С. Голосов // Известия высших учебных заведений. Физика. – Томск, 2005. – Т. 48. – № 4. – С.65-69.

6.     Гаевский А.Ю. Модель Изинга с анизотропным многоспиновым взаимодействием в теории плотноупакованных структур. Основное состояние, энергия дефектов упаковки // Металлофизика. – 1988. – Т. 10, № 6. – С. 83–85.

7.     Паташинский А.З., Покровский В.А. Флуктуационная теория фазовых переходов. 2-е изд. – М.: Наука, 1982, 382 с.

Бекстер Р. Точно решаемые модели в статистической механике. – М: Мир, 1988, 487 с