Математическое описание теплообмена в трубчатых многослойных структурах с движущимися средами

В уравнениях (2.6) обозначено: ,  – температуры разделяющейся стенки, осевого слоя второй среды. Знак плюс в уравнениях с индексом  для прямотока, минус – для противотока. Обозначения остальных величин приняты ранее.

Системой уравнений (2.6) можно описывать и массообменные процессы. Исследование гидродинамики приводится обычно введением индикатора с последующим фиксированием его распределения на выходе из аппарата. По функции отклика путем статистической обработки находится эффективный коэффициент Д_э [20]. Этим гипотетическим коэффициентом учитывают всю гидродинамику процесса в аппарате. Эффективный коэффициент аналогичен коэффициенту диффузии и вводится в уравнение вида

                                                                       (9)

Уравнение, описывающее перенос тепла в одном из слоев примет вид

                                                                          (10)

где

                                                (11)

Представим уравнения (2.9) и (2.10) в канонической форме. После введения подвижной системы координат и одинаковых обозначений переменных получим

                                                                                                          (12)

                                                                                         (13)

Общие уравнения (2.6) описывают переходные процессы, как теплообмена, так и массообмена в технологических аппаратах. В этих уравнениях учитываются основные термо- и гидродинамические эффекты данных процессов, т.е. рассматривается более точное описание динамики технологических систем. Так, в полученных уравнениях предполагалось, что изменение плотности потока, обусловленного теплопроводностью (диффузией) вдоль оси, мало по сравнению с изменением по радиусу аппарата. В большинстве своем это предположение оправдывается на практике. Однако в ряде случаев, встречающихся в реальных условиях, в частности при теплообмене жидких металлов, при передаче тепла и массы в развитом турбулентном течении с малым числом Пекле, начинает оказывать значительное влияние на переходный процесс поток тепла, массы в направлении оси аппарата. В связи с этим представляет интерес при математическом описании учесть этот эффект «второго» порядка.

Прежде чем приступить к выводу уравнений, остановимся на физической стороне данного явления. Величина продольного потока при турбулентном течении характеризуется коэффициентом турбулентной диффузии. Так, при турбулентном течении наличие беспорядочных пульсаций поля скорости приводит к резкому возрастанию перемешивания жидкости. Причем турбулентные пульсации имеют неоднородности от сколько угодно малых масштабов, аналогичных свободному пробегу молекул, и до крупномасштабных. Вследствие вязкости жидкости мелкие пульсации гасятся, но остаются такие, которые во много раз превосходят масштабы молекулярных движений. Поэтому гидродинамические поля относительно среднего значения изменяются плавно и, следовательно, могут описываться уравнениями гидромеханики.

Запишем уравнение переноса в виде

Проведем в нем операцию осреднения: приняв ω' = ω - ω°, получим

                                                              (14)

где ω' – пульсация поля скорости, равная разности между индивидуальным значением и средним.

Уравнение (2.14), приведенное к виду

показывает, что вектор  описывает перенос тепла, даваемый осредненным движением, а вектор – перенос тепла, даваемый турбулентными пульсациями.