К вопросу о счетности и степени множеств

В доказательстве Кантора множество рациональных чисел изображается таблицей с бесконечным (счетным) числом строк и столбцов, затем организуется движение по диагоналям таблицы. Алгоритм (движение по диагоналям) указан, и с ним не спорят, во-первых, в силу его наглядности, во-вторых, потому, что наш конечный опыт не дает нам возможности, как в случае с черепахой, непосредственно идентифицировать его итог.

Не смущает экстравагантность приема: алгоритм, выражаясь фигурально, предлагает «прочесывать» взад-вперед множество рациональных чисел на постоянно увеличивающемся интервале; при этом, так как в таблице все числа, расположенные выше главной диагонали, меньше единицы, а расположенные ниже главной диагонали – больше единицы, участок от нуля до единицы прочесывается столько же раз, сколько и участок от единицы до бесконечности.

Не настораживает, что алгоритм не соответствует требованию биекции, поскольку в таблице каждое число повторяется бесконечное (счетное) количество раз; считается: если в таблице чисел «больше», чем рациональных, то доказательство Кантора заведомо верно, а повторяющиеся числа предлагается при пересчете просто пропускать.

Приведем три примера:

1.При сравнении конечных множествах натуральные числа имеют одинаковое отношение порядка.

2. При биекции одного на другое счетных бесконечных множеств, например, множества натуральных чисел на множество чисел четных, также имеет место сохранение отношения порядка.

3. При биекции одного на другое несчетных множеств, например, одного интервала действительных чисел на другой, тоже сохраняется отношение порядка.

В приведенных примерах биекция согласуется с отношениями порядка. И это существенно:

«Для того чтобы множества А и В были равномощны, необходимо и достаточно, чтобы реляционные системы áА, АхАñ и áВ, ВхВñ были изоморфны» [1, с.181].

Реляционные системы áА, Rñ и áВ, Sñ называются изоморфными, если существует биекция f, отображающая А на В так, что для всех х,у Î А

хRy º f(х)Sf(у) [1, с.91].

Биекция предполагает наличие в обоих множествах структур, и эти структуры должны быть согласованы с биекцией. Множество натуральных чисел вполне упорядочено отношением R, а на множестве чисел диагоналей таблицы отношение S, удовлетворяющее (1, с.91) отсутствует. Поэтому «диагональное» отображение признать биекцией неправомерно.

Таблицу Кантора можно заменить эквивалентной таблицей, в которой рациональные числа заменены произвольными элементами, при этом каждому элементу присвоен двухзначный индекс, первое число которого равно числителю, а второе число соответственно знаменателю того рационального числа, которое данный элемент заменяет. Получается стандартная матрица с бесконечным числом строк и столбцов. Поэтому, теорема Кантора может быть разложена на два независимых тезиса:

1. Строка (столбец) матрицы равномощна всей матрице в случае, когда строки и столбцы матрицы представляют собой бесконечные счетные последовательности, или: счетное множество равномощно счетному семейству счетных множеств.

2. Плотное множество рациональных чисел представимо в виде разреженного множества рациональных чисел с возможностью уложить его в матрицу предыдущего пункта. Для этого вводится допущение: каждое рациональное число «вставляется» в матрицу бесконечное число раз. Сделав такое допущение, у каждого элемента матрицы индексы записывают не по порядку, а как частное от деления первого на второй. Далее сами элементы упраздняются, а новые индексы оставляются.

Так получается таблица Кантора. (Возможно, исторически так и было).

По п.1: поскольку и строки, и столбцы бесконечны, не обойтись без «диагонального» метода: возникает необходимость сломать отношение порядка, присущее множеству натуральных чисел, а иного отношения, согласующегося с биекцией, в таблице нет.

По п.2: сам факт построения таблицы является произвольным актом трансформации множества плотного в множество разреженное, и именно эта операция приводит к счетности множества рациональных чисел.

Имеется и такая точка зрения:

действительные числа изготавливаются из чисел натуральных по определенным для каждого класса чисел алгоритмам;

выбор этих алгоритмов не проистекает из природы действительных или натуральных чисел и определяется исключительно потребностями людей: рациональные числа (отношение, а не иное соотношение натуральных чисел) изготовлены для того, чтобы иметь возможность поделить единицу на равные части, или – чтобы на отрезке от нуля до единицы пользоваться натуральными числами; алгебраические – чтоб записать решение алгебраического уравнения; трансцендентные – чтобы установить соотношение, например, между диаметром и окружностью.