К вопросу о счетности и степени множеств

Следовательно, условие [ F(ti) = Ai ] Ù ( tiÏAi ) внутренне противоречиво, поэтому заданная в теореме функция F не существует.

Парадокс этот связан, на наш взгляд, с таким понятием, как «множество всех подмножеств данного множества».

Функция F задана как биекция и как отображающая элемент на множество; но два этих свойства несовместимы: функция, обратная F, отображает множество на элемент и, подобно мере, не может быть биекцией [5, с.251].

Выражение «множество всех подмножеств произвольного множества» имеет, по мнению автора, скорее философский, чем математический смысл.

К. Куратовский, например, следуя Цермело, не интересуется его структурой и просто постулирует его существование с помощью аксиомы степени: «Для каждого множества А существует семейство множеств Р, элементами которого являются все подмножества множества А и только они:

Х Î Р = ( Х Ì А ) ». [ 1, 60 ]

Множества, не имеющие ни каких структур, сравнить между собой на равномощность не представляется возможным (1, с.181): для того чтобы один и тот же элемент не отобразить дважды, надо иметь возможность отличить один элемент от другого. Если же все элементы одинаковы, то способ отличить один от другого только один – элементы необходимо как-то упорядочить.

Представляется имеющим смысл множеству А, рассматриваемому как основание степени множества, присвоить дискретную топологию. [6, с.12].

Поскольку дискретная топология является сильнейшей и мажорирует все более слабые топологии, то множество всех подмножеств множества А можно представить как множество всех отображений одного дискретного множества на равное ему другое дискретное множество, при этом каждый элемент отображаемого множества отображается на каждый элемент множества-отображения. Представляется естественным это множество отображений и считать степенью множества А. Взяв более слабую топологию, получим множество отображений дискретного множества на множество подмножеств более слабой топологии – множество с меньшей мощностью.

Вопрос сравнения множеств по мощности сведется таким образом к сравнению топологий. В эту схему вписываются и множества конечной мощности.

В виду того, что множество топологий на множестве лишь частично упорядочено, возможно, то же самое следует сказать и о мощностях множеств.

Литература

1. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М., Мир, 1970. 416с.

2. Гегель Г.В.Ф. Наука логики. Т1, М., 1970. 474с.

3. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. М., Наука, 1987.336с.

4. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Математическая логика. М., 1984.120с.

5. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1981. 544с.

6. Александрян Р.А., Мирзаханян Э.А. Общая топология. М., 1979. 336с.