К вопросу о счетности и степени множеств

Разный инструментарий дает и разные числа:

*рациональные числа представляются десятичной конечной либо периодической дробью.

*иррациональные числа – десятичной непериодической дробью.

Разбиение чисел на рациональные и иррациональные является, по-видимому, данью традиции, идущей от древних греков (полезной, конечно).

Каких чисел «больше» – рациональных или иррациональных?

Один из возможных ответов: поскольку между двумя любыми рациональными числами можно указать число рациональное и иррациональное, а между двумя любыми иррациональными числами – число рациональное и иррациональное, оба этих множества следует признать несчетными.

«Множество всех точек отрезка 0 ≤ х ≤ 1 несчетно (Г.Кантор).

Доказательство. Допустим, что, напротив, множество всех точек отрезка [0, 1] счетно и все их можно расположить в последовательность х₁, х₂, …, х_n,… Имея эту последовательность, построим следующим образом последовательность вложенных друг в друга отрезков.

Разделим отрезок [0, 1] на три равные части. Где бы не находилась точка х₁, она не может принадлежать одновременно всем трем отрезкам [0, 1/3] , [1/3, 2/3] , [2/3, 1] , и среди них можно указать такой, который не содержит точки х₁ (ни внутри, ни на границе); этот отрезок мы обозначим через Δ₁.

Далее, обозначим через Δ₂ ту из трех равных частей отрезка Δ₁, на которой не лежит точка х₂.

Когда таким образом будут построены отрезки Δ₁ É Δ₂ É … É Δ_n , мы обозначим через Δ_n+1 ту из трех равных частей отрезка Δ_n, на которой не лежит точка х_n+1, и т.д. Бесконечная последовательность отрезков Δ₁ É Δ₂ É … в силу известной теоремы анализа имеет общую точку ξ. Эта точка ξ принадлежит каждому из отрезков Δ_n и, следовательно, не может совпадать ни с одной из точек х_n. Но это показывает, что последовательность х₁, х₂,…,х_n,… не может исчерпывать всех точек отрезка [0, 1], в противовес первоначальному предположению. Теорема доказана».

Заменив в этой теореме слова «точки» словами «рациональные числа» или «иррациональные числа», получим три теоремы.

Все три теоремы одинаково логичны.